Question

【題目】如圖1,在和中, ,, .

(1)若三點在同一直線上,連接交于點,求證: .

(2)在第(1)問的條件下,求證: ；

(3)將繞點順時針旋轉得到圖2,那么第(2)問中的結論是否依然成立?若成立,請證明你的結論:若不成立,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）成立，理由見解析

【解析】

（1）根據SAS得出△BAD≌△CAE；

（2）根據△BAD≌△CAE，得出∠ABD=∠ACE，根據直角三角形兩銳角互余和對頂角相等即可得出答案；

（3）延長BD交CE于點M，交AC于點F．根據SAS證明ΔBAD≌ΔCAE，得出∠ABD=∠ACE，根據直角三角形兩銳角互余和對頂角相等即可得出答案．

（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE．

∵AB=AC，AD=AE，

∴ΔBAD≌ΔCAE．

（2）∵ΔBAD≌ΔCAE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠AFB=90°．

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠ACE+∠CFD=90°，

∴∠CDF=90°，

∴BD⊥CE．

（3）成立．理由如下：

延長BD交CE于點M，交AC于點F．

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，

即∠BAD=∠CAE．

∵AB=AC，AD=AE，

∴ΔBAD≌ΔCAE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠AFB=90°．

∵∠AFB=∠CFM，

∴∠CMF=90°，

∴BD⊥CE．