Question

荊州市“建設社會主義新農村”工作組到某縣大棚蔬菜生產基地指導菜農修建大棚種植蔬菜．通過調查得知：平均修建每公頃大棚要用支架、農膜等材料費2.7萬元；購置滴灌設備，這項費用（萬元）與大棚面積（公頃）的平方成正比，比例系數為0.9；另外每公頃種植蔬菜需種子、化肥、農藥等開支0.3萬元．每公頃蔬菜年均可賣7.5萬元．
（1）基地的菜農共修建大棚x（公頃），當年收益（扣除修建和種植成本后）為y（萬元），寫出y關于x的函數關系式．
（2）若某菜農期望通過種植大棚蔬菜當年獲得5萬元收益，工作組應建議他修建多少公頃大棚．（用分數表示即可）
（3）除種子、化肥、農藥投資只能當年受益外，其它設施3年內不需增加投資仍可繼續使用．如果按3年計算，是否修建大棚面積越大收益越大？修建面積為多少時可以得到最大收益？請幫工作組為基地修建大棚提一項合理化建議．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可得收益扣除修建和種植成本后易得y與x的函數關系式．
（2）設當y=5時，根據實際求出x的值．
（3）設3年內每年的平均收益為Z．把z與x的函數關系式化為=-0.3（x-10.5）²+33.075，進而得出即可．
解答：解：（1）y=7.5x-（2.7x+0.9x²+0.3x）
=7.5x-2.7x-0.9x²-0.3x
=-0.9x²+4.5x．

（2）當-0.9x²+4.5x=5時，
整理得：9x²-45x+50=0，
解得：x₁=，x₂=，
從投入、占地與當年收益三方面權衡，應建議修建公頃大棚．

（3）設3年內每年的平均收益為Z（萬元）
Z=7.5x-（0.9x+0.3x²+0.3x）
=7.5x-0.9x-0.3x²-0.3x
=-0.3x²+6.3x
=-0.3（x-10.5）²+33.075（10分）
不是面積越大收益越大．當大棚面積為10.5公頃時可以得到最大收益．（11分）
建議：①在大棚面積不超過10.5公頃時，可以擴大修建面積，這樣會增加收益．
②大棚面積超過10.5公頃時，擴大面積會使收益下降．修建面積不宜盲目擴大．
③當-0.3x²+6.3x=0時，x₁=0，x₂=21．大棚面積超過21公頃時，不但不能收益，反而會虧本．
（說其中一條即可）（12分）
點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次系數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比較簡單．