Question

【題目】已知矩形中，，動點從點出發，以2cm/s的速度沿向終點勻速運動，連接，以為直徑作⊙分別交于點，連接.設運動時間為s .

(1)如圖①，若點為的中點，求證:;

(2)如圖②，若⊙與相切于點，求的值;

(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）2.5或4.

【解析】

（1）由已知證明，推出BC=BP；（2）連接OH，過點O作OM⊥AD于M.由四邊形ABCD是矩形，可證°，可得OM∥AB，可證可得，OM=AB=3；由AP=2t，可得MP=AM=2t，MD=10-t，可證四邊形OMDH是矩形，可得OH=OP=MD=10-t，根據勾股定理可知：在中，，即可求出t的值；（3）分兩種情況討論，當AE=BE時，則由四邊形PABE內接于⊙，可得，

可推，故PB=BC=10，根據勾股定理在中，AP=，可得2t=8，t=4；若AB=AE，可證可得AP=PD=5，

即2t=5，解得t=2.5；

（1）證明：∵BP為⊙直徑，

∴°；

∵點E為的中點，

∴，

∴，

在

∴，

∴BC=BP；

（2）連接OH，過點O作OM⊥AD于M.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴°；

∵OM⊥AD，AB⊥AD，

∴OM∥AB；

∴，，

∴OM=AB=3；

∵AP=2t，

∴MP=AM=2t，MD=10-t，

∵⊙與相切于點，

∴°，

∴四邊形OMDH是矩形，

∴OH=OP=MD=10-t，

在中，，

解得t=；

（3）若AE=BE，則

∵四邊形PABE內接于⊙，

∴，

∵AD∥BC，

∴，

∴，

∴PB=BC=10，

在中，AP=，

∴2t=8，t=4；

若AB=AE，

則，

同理可得，

∴；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD；

在

∴

∴AP=PD=5，

即2t=5，解得t=2.5；

綜上所述，t的值為2.5或4.