Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=50，BC=64，連結BD，AE⊥BD垂足為E，
（1）求證：△ABE∽△DCB；
（2）求線段DC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴∠ABD=∠DBC，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB=∠C=90°，

∴△ABE∽△DCB

（2）解：作AF⊥BC于F，如圖，

∵AD∥BC，∠C=90°，

∴AFCD是矩形，

∴FC=AD=50，AF=CD，

∴BF=BC﹣FC=64﹣50=14，

∴AF= =48，

∴DC=48．

【解析】（1）由AD∥BC得出∠ADB=∠DBC，再由AB=AD得出∠ADB=∠ABD，從而∠ABD=∠DBC，另外AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，結論顯然；（2）作AF⊥BC于F，則AF=CD，FC=AD，算出BF，從而由勾股定理算出AF．
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．