Question

如圖所示，已知AE為⊙O的直徑，AD為△ABC的BC邊上的高．
（1）求證：∠BAE=∠DAC；
（2）若AB=10，AD=6，CD=2

3

，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）連接BE，由AE是直徑，得∠ABE=90°，而AD為△ABC的BC邊上的高，所以∠ADC=∠ABE=90°，即可得到∠BAE=∠CAD；
（2）先利用勾股定理求出AC=

62+(2 3 )2

=4

3

，再利用Rt△ABE∽Rt△ADC，得到

AE

AB

=

AC

AD

，即可計算出直徑AE，得到圓的半徑，可求出⊙O的面積．

解答：解：（1）連接BE，如圖，
∵∠AEB=∠ACD，
而AE是直徑
∴∠ABE=90°，
∵AD為△ABC的BC邊上的高，
∴∠ADC=∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CAD；

（2）∵AD=6，CD=2

3

，
∴AC=

62+(2 3 )2

=4

3

，
由（1）得△ABE∽△ADC，
∴

AE

AB

=

AC

AD

，
∴AE=

20

3

3

，
∴⊙O的半徑為

10 3

3

，
∴⊙O的面積為

100

3

π．

點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了圓周角的推論：直徑所對的圓周角為90度．也考查了勾股定理、三角形相似的性質以及圓的面積公式．