Question

小明在一次數學興趣小組活動中，對一個數學問題作如下探究：

（1）如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為DC邊的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，求證：S_{四邊形ABCD}=S_△ABF（S表示面積）
（2）如圖2：在已知銳角∠AOB內有一個定點P．過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N．小明將直線MN繞著點P旋轉的過程中發現，△MON的面積存在最小值，請問當直線MN在什么位置時，△MON的面積最小，并說明理由．
（3）利用（2）的結論解決下列問題：
我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質，如關于線段比．（如圖3）若O是△ABC的重心，連結AO并延長交BC于D，則

AO

AD

=

2

3

，這樣面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質解決以下問題．
若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖4），S_{四邊形BCHG}，S_△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究

S四邊形BCHG

S△AGH

的最大值．

Answer 1