Question

如（a）圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（12，0），點B坐標為（6，8），點C為OB的中點，點D從點O出發，沿△OAB的三邊按逆時針方向以2個單位長度/秒的速度運動一周．
（1）點C坐標是______，當點D運動8.5秒時所在位置的坐標是______；
（2）設點D運動的時間為t秒，試用含t的代數式表示△OCD的面積S，并指出t為何值時，S最大；
（3）點E在線段AB上以同樣速度由點A向點B運動，如（b）圖，若點E與點D同時出發，問在運動5秒鐘內，以點D，A，E為頂點的三角形何時與△OCD相似？（只考慮以點A、O為對應頂點的情況）

Answer 1

（1）C（3，4），D（9，4）；

（2）易知：OB=AB=10；
∵C點坐標為（3，4），
∴點C到x軸的距離為4
①當點D在線段OA上，即0＜t≤6時，OD=2t；
則：S=

1

2

OD×4=

1

2

×2t×4=4t；
②當D在線段AB上，即6≤t＜11時，BD=OA+AB-2t=22-2t；
過D作DM⊥OB于M，過點A作AN⊥OB于N；
則△BMD∽△BNA，得：

DM

AN

=

BD

BA

=

22-2t

10

=

11-t

5

；
易知S_△OAB=48；
∵S_△ODB：S_△OAB=DM：AN=（11-t）：5，
∴S_△OBD=S_△OAB•

11-t

5

=

48

5

（11-t）；
∵BC=OC，
∴S=S_△BCD，即S=

1

2

S_△OBD=

24

5

（11-t）=-

24

5

t+

264

5

；
③當D在線段OB上時，O、C、D三點共線，不能構成三角形，此種情況不成立；
綜上可知：當t=6時，S最大，且S_max=24；

（3）當0≤t≤5s時，D在線段OA上運動，E在線段AB上運動；
△OCD中，OC=5，OD=2t；△DAE中，AD=12-2t，AE=2t；
①當△OCD∽△ADE時，

OC

AD

=

OD

AE

=1，∴OC=AD，即12-2t=5，t=

7

2

；
②當△OCD∽△AED時，

OC

AE

=

OD

AD

，即

5

2t

=

2t

12-2t

，解得t=

265 -5

4

；
綜上所述，當t=

7

2

或

265 -5

4

時，兩個三角形相似．