Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、N，且OM=6cm，∠OMN=30°，等邊△ABC的頂點B與原點O重合，BC邊落在x軸的正半軸上，點A恰好落在線段MN上，如圖2，將等邊△ABC從圖1的位置沿x軸正方向以1cm/s的速度平移，邊AB、AC分別與線段MN交于點E、F，在△ABC平移的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動，當點P達到點C時，點P停止運動，△ABC也隨之停止平移．設△ABC平移時間為t（s），△PEF的面積為S（cm2）．

（1）求等邊△ABC的邊長；

（2）當點P在線段BA上運動時，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）點P沿折線B→A→C運動的過程中，是否在某一時刻，使△PEF為等腰三角形？若存在，求出此時t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)OA=3cm；（2）s= ;(3) 存在，t值為或2

【解析】試題分析：（1）根據，∠OMN=30°和△ABC為等邊三角形，求證△OAM為直角三角形，然后即可得出答案；（2）根據OM=6cm，∠OMN=30°，利用勾股定理求出MN和ON的長，再根據△OMN∽△BEM，利用其對應邊成比例求出BE、PE，然后利用三角形面積公式即可求得答案；（3）△PEF為等腰三角形，求出t的值，如果在0＜t＜3這個范圍內就存在，否則就不存在．

試題解析：

(1)∵直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、N,OM=6cm,∠OMN=30，

∴∠ONM=60，

∵△ABC為等邊三角形

∴∠AOC=60°，∠NOA=30°

∴OA⊥MN，即△OAM為直角三角形，

∴OA=OM=×6=3cm.

(2)∵OM=6cm,∠OMN=30°，

∴ON=2,MN=4.

∵△OMN∽△BEM，

∴，

∴，

解得BE= ，

當點P在BE上時，

PE=BEPB= 2t= ，

∵∠A=60°,∠AFE=30°，

∴EF=AE= (3BE)= (3)=t，

∴△PEF的面積S=×EF×PE=×t× ，

即S= (0<t<)

當點P在AE上時,PE=PBBE=2t=，

∵∠A=60°,∠AFE=30°，

∴EF=AE= (3BE)= (3)=t，

∴△PEF的面積S=×EF×PE=×t×，

即S=

(3)存在，有4種情況：

①當點P在線段AB上時，

點P在AB上運動的時間為s，

∵△PEF為等腰三角形,∠PEF=90,

∴PE=EF，

∵∠A=60,∠AFE=30，

∴EF=AE= (3BE)= (3)=t，

∴=t或=t，

解得t= 或> (故舍去)，

②當點P在AF上時，

若PE=PF時，點P為EF的垂直平分線與AC的交點，

此時P為直角三角形PEF斜邊AF的中點，

∴PF=AP=2t3，

∵點P從△ABC的頂點B出發，以2cm/s的速度沿折線B→A→C運動，

∴0<t<3，

在直角三角形中，cos30°=，

解得：t=2，

若FE=FP，

AF=EFcos∠AFE=EFcos30°=t，

則t(2t3)= t，

解得：t=126；

③當PE=EF，P在AE上時無解，

④當P點在CF上時,AP=2t3,AF=t,則PF=APAF=t3=EF,所以t3=t，

解得t=12+6>3，不合題意，舍去。

綜上,存在t值為 或2時，△PEF為等腰三角形。