Question

數學學習總是如數學知識自身的生長歷史一樣，往往起源于猜測中的發現，我們所發現的不一定對，但是當利用我們已有的知識作為推理的前提論證之后，當所發現的在邏輯上沒有矛盾之后，就可以作為新的推理的前提，數學中稱之為定理．
（1）嘗試證明：
等腰三角形的探索中借助折紙發現：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．但是當時并未說明這個結論的合理．現在我們學些了矩形的判定和性質之后，就可以解決這個問題了．如圖1若在Rt△ABC中CD是斜邊AB的中線，則，你能用矩形的性質說明這個結論嗎？請說明．
（2）遷移運用：利用上述結論解決下列問題：
①如圖2所示，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分別是BD、AC的中點，請你說明EF與AC的位置關系．
②如圖3所示，?ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，試說明平行四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

證明：（1）如圖，延長CD至點E，使CD=DE，連接AE、BE，
∵CD=DE，點D為AB中點，
∴四邊形AEBC為平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四邊形AEBC是矩形，
∴CE=AB，
∵CD=CE，
∴CD=AB；

（2）EF⊥AC．理由如下：
連接AE、CE，
∵∠BAD=90°，E為BD中點，
∴AE=DB，
∵∠DCB=90°，
∴CE=BD，
∴AE=CE，
∵F是AC中點，
∴EF⊥AC；

（3）連接EO，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴O點為AC、BD中點，
∵∠AEC=90°，O為AC中點，
∴，
∵∠BED=90°，O為BD中點，
∴，
∴AC=BD，
∵平行四邊形ABCD中，AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形．
分析：（1）延長CD至點E，使CD=DE，連接AE、BE，然后證明四邊形AEBC是矩形，再根據矩形的性質可得CD=AB；
（2）EF⊥AC，連接AE、CE，然后根據（1）中的結論得到AE=CE，再根據等腰三角形的性質可得EF⊥AC；
（3）連接EO，根據（1）中的結論可得OE=DB，OE=AC，進而得到AC=BD，根據對角線相等的平行四邊形是矩形可得結論．
點評：此題主要考查了矩形的判定與性質，關鍵是掌握矩形的對角線相等且互相平分．