Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，延長BC到點F，連接AF，使∠ABC=2∠CAF．

（1）求證：AF是⊙O的切線；
（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，如圖1所示：

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°，

∵BA=BC，

∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD

∵∠ABC=2∠CAF，

∴∠ABD=∠CAF，

∵∠ABD+∠CAB=90°，

∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，

∴AF是⊙O的切線

（2）解：連接AE，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑

∴∠AEB=90°，即△AEB為直角三角形，

∵CE：EB=1：3，

設CE長為x，則EB長為3x，BC長為4x．

則AB長為4x，

在Rt△AEB中由勾股定理可得 AE= ，

在Rt△AEC中，AC=4，AE= ，CE=x，

由勾股定理得： ，

解得： ，

∵x＞0

∴ ，即CE長為 ．

【解析】（1）連接BD，依據直徑所對的圓周角為90°可得到∠ADB=90°，然后由等角對等邊的性質以及角平分的定義可得到∠ABC=2∠ABD，于是∠ABD=∠CAF，然后可得到∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA；
（2）連接AE，由依據直徑所對的圓周角為90°得到∠AEB=90°，設CE長為x，則EB長為3x，AB=BC=4x．由勾股定理可得AE的長，最后，在Rt△AEC中，依據勾股定理列方程求解即可.
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．