Question

（2013•義烏市）如圖，直線l₁⊥x軸于點A（2，0），點B是直線l₁上的動點．直線l₂：y=x+1交l₁于點C，過點B作直線l₃垂直于l₂，垂足為D，過點O，B的直線l₄交l₂于點E，當直線l₁，l₂，l₃能圍成三角形時，設該三角形面積為S₁，當直線l₂，l₃，l₄能圍成三角形時，設該三角形面積為S₂．
（1）若點B在線段AC上，且S₁=S₂，則B點坐標為

（2，0）

；
（2）若點B在直線l₁上，且S₂=

3

S₁，則∠BOA的度數為

15°或75°

．

Answer 1

分析：（1）設B的坐標是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形，即可表示出S₁，求得直線l₁的解析式，解方程組即可求得E的坐標，則S₂的值即可求得，根據S₁=S₂，即可得到一個關于m的方程從而求得m的值；
（2）根據S₂=

3

S₁，即可得到一個關于m的方程從而求得m的值，得到AB的長，從而求得∠BOA的正切值，求得角的度數．

解答：解：（1）設B的坐標是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
則BD=CD=

2

2

BC=

2

2

|3-m|，S₁=

1

2

×（

2

2

|3-m|）²=

1

4

（3-m）²．
設直線l₄的解析式是y=kx，則2k=m，解得：k=

m

2

，
則直線的解析式是y=

m

2

x．
根據題意得：

y= m 2 x y=x+1

，解得：

x= 2 m-2 y= m m-2

，
則E的坐標是（

2

m-2

，

m

m-2

）．
S_△BCE=

1

2

BC•|

2

m-2

-2|=

1

2

|3-m|•|

6-2m

m-2

|=

(3-m)2

|m-2|

．
∴S₂=S_△BCE-S₁=

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）^2_．
當S₁=S₂時，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

1

4

（3-m）²．
解得：m₁=4（不合題意舍去）或m₂=0，
則B的坐標是（2，0）；

（2）當S₂=

3

S₁時，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

3

4

（3-m）²．
解得：m=4+2

3

或4-2

3

．
則AB=4+2

3

或4-2

3

．
∴tan∠BOA=2+

3

或2-

3

．
∴∠BOA=75°或15°．

點評：本題考查了一次函數與三角函數，三角形的面積，正確表示出S₂是關鍵．