Question

【題目】問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．

證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG
∵M是的中點，
∴MA=MC
……
請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
實踐應用：
（1）如圖3，已知△ABC內接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中點，依據阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為BE=CE+ACBE=CE+AC；
（2）如圖4，已知等腰△ABC內接于⊙O，AB=AC，D為上一點，連接DB，∠ACD=45°，AE⊥CD于點E，△BCD的周長為4+2，BC=2，請求出AC的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)4

【解析】

（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質得出BD=GD，即可得出答案；

（2）直接根據阿基米德折弦定理得出結論；

（3）根據阿基米德折弦定理得出CE=BD+DE，進而求出CE，最后用勾股定理即可得出結論．

證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中點，

∴MA=MC．

在△MBA和△MGC中

，

∴△MBA≌△MGC（SAS），

∴MB=MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD=GD，

∴DC=GC+GD=AB+BD；

實踐應用

（1）BE=CE+AC；

（2）根據阿基米德折弦定理得，CE=BD+DE，

∵△BCD的周長為4+2，

∴BD+CD+BC=4+2，

∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=4+2，

∵BC=2，

∴CE=2，

在Rt△ACE中，∠ACD=45°，

∴AC=CE=4．