Question

（2006•漳州）已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC邊上的中線，分別以AC，AB所在直線為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）．
（1）在BD所在直線上找出一點(diǎn)P，使四邊形ABCP為平行四邊形，畫出這個(gè)平行四邊形，并簡(jiǎn)要敘述其過(guò)程；
（2）求直線BD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）直線BD上是否存在點(diǎn)M，使△AMC為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)锽D是AC邊上的中線，所以過(guò)A畫AP∥BC，交直線BD于P，連接PC，可得到△ADP≌△CDB．
即可得到BD=CD．利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可知四邊形ABCP是所畫的平行四邊形；
（2）因?yàn)锳B=AC=4，BD是AC邊上的中線，所以可得到AD=DC=2，即B（0，4），D（2，0）．
可設(shè)直線BD的函數(shù)關(guān)系式：y=kx+b，將B、D的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于k、b的方程組，解之即可；
（3）因?yàn)镸在直線BD上，所以可設(shè)M（a，-2a+4），因?yàn)椤鰽MC為等腰三角形，所以需分情況討論：
分三種情況：
①若AM=AC，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得AM²=a²+（-2a+4）²，因?yàn)锳C²=16，所以可得到關(guān)于a的方程，解之即可；
②若MC=AC，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16，所以可得到關(guān)于a的方程，解之即可；
③若AM=MC，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²解之即可，又因M₅（2，0）點(diǎn)在AC上，構(gòu)不成三角形，所以應(yīng)舍去．
解答：解：（1）（4分）
正確畫出平行四邊形ABCP．                           （2分）
敘述畫圖過(guò)程合理．                                 （4分）
方法一：在直線BD上取一點(diǎn)P，使PD=BD
連接AP，PC．                                        （1分）
所以四邊形ABCP是所畫的平行四邊形．                  （2分）
方法二：過(guò)A畫AP∥BC，交直線BD于P，
連接PC．                                            （1分）
所以四邊形ABCP是所畫的平行四邊形．                  （2分）

（2）（4分）
∵AB=AC=4，BD是AC邊上的中線，
∴AD=DC=2．
∴B（0，4），D（2，0）．                            （2分）
設(shè)直線BD的函數(shù)關(guān)系式：y=kx+b，
得解得．                      （3分）
∴直線BD的函數(shù)關(guān)系式：y=-2x+4．                    （4分）

（3）（6分）
設(shè)M（a，-2a+4）．                                  （2分）
分三種情況：
①AM=AC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴a²+（-2a+4）²=16．解得．
∴M₁（0，4），．               （3分）
②MC=AC．
∵M(jìn)C²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴（4-a）²+（-2a+4）²=16．
解得．
∴M₃（4，-4），．                  （4分）
③AM=MC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，∴a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²，解得a₅=2．
∴M₅（2，0），這時(shí)M₅點(diǎn)在AC上，構(gòu)不成三角形，舍去． （5分）
綜上所述，在直線BD上存在四點(diǎn)，即M₁（0，4），，M₃（4，-4），符合題意．  （6分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式和兩點(diǎn)間的距離公式，解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，另外要注意答案的合理性．