Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是邊AB的中點，點E在邊BC上，AE＝BE，點M是AE的中點，聯結CM，點G在線段CM上，作∠GDN＝∠AEB交邊BC于N．

（1）如圖2，當點G和點M重合時，求證：四邊形DMEN是菱形；

（2）如圖1，當點G和點M、C不重合時，求證：DG＝DN．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析

【解析】

本題主要考查菱形及全等三角形的應用

（1）先由MD為BE的中位線，可證MD∥EN且MD=BE，又∠GDN+∠DNE＝180°，可證四邊形MDNE為平行四邊形，從而可證平行四邊形DMEN為菱形

（2）取BE中點F，連接DM，DF，利用（1）的結論可證△DMG≌△DFN，即可得出答案

證明：（1）如圖2中，

∵AM＝ME．AD＝DB，

∴DM∥BE，

∴∠GDN+∠DNE＝180°，

∵∠GDN＝∠AEB，

∴∠AEB+∠DNE＝180°，

∴AE∥DN，

∴四邊形DMEN是平行四邊形，

∵，

∴DM＝EM，

∴四邊形DMEN是菱形．

（2）如圖1中，取BE的中點F，連接DM、DF．

由（1）可知四邊形EMDF是菱形，

∴∠AEB＝∠MDF，DM＝DF，

∴∠GDN＝∠AEB，

∴∠MDF＝∠GDN，

∴∠MDG＝∠FDN，

∵∠DFN＝∠AEB＝∠MCE+∠CME，∠GMD＝∠EMD+∠CME，、

在Rt△ACE中，∵AM＝ME，

∴CM＝ME，

∴∠MCE＝∠CEM＝∠EMD，

∴∠DMG＝∠DFN，

∴△DMG≌△DFN，

∴DG＝DN．