Question

【題目】如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．試回答：

（1）圖中等腰三角形是 ．猜想：EF與BE、CF之間的關系是 ．理由：

（2）如圖②，若AB≠AC，圖中等腰三角形是 ．在第（1）問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？

（3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關系又如何？說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析 （2）△EOB、△FOC 存在 （3）答案見解析

【解析】

（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據EF∥BC，可得：∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；

已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC．

（2）由（1）的證明過程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中，與AB=AC的條件沒有關系，故這兩個等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的結論仍成立．

（3）思路與（2）相同，只不過結果變成了EF=BE-FC．

解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；

EF、BE、FC的關系是EF=BE+FC．理由如下：

∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB,

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO,

即EO=EB，FO=FC,

∴EF=EO+OF=BE+CF;

（2）當AB≠AC時，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結論仍然成立．（證明過程同（1））;

（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：

同（1）可證得△EOB是等腰三角形；

∵EO∥BC，

∴∠FOC=∠OCG,

∵OC平分∠ACG，

∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，

∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形,

∴EF=EO-FO=BE-FC．