Question

如圖1所示，在△ABC中，AE是∠BAC的平分線，∠B＜∠C，F為AD上一點，且FD⊥BC于D．
（1）試推導∠EFD與∠B、∠C的大小關系．
（2）如圖2所示，當點F在AE的延長線上時，其余條件不變，在（1）中推導的結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的內角和定理和角平分線的定義表示出∠BAE，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠AEC，然后根據直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解；
（2）與（1）的求解過程完全相同．

解答：解：（1）∠EFD=

1

2

（∠C-∠B）．
理由如下：∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），
在△ABE中，∠AEC=∠BAE+∠B=

1

2

（180°-∠B-∠C）+∠B=90°+

1

2

∠B-

1

2

∠C，
∵FD⊥BC，
∴∠EFD=90°-（90°+

1

2

∠B-

1

2

∠C）=

1

2

（∠C-∠B）；

（2）仍然成立．
又（1）知∠DEF=∠AEC=90°+

1

2

∠B-

1

2

∠C，
∴∠EFD=

1

2

（∠C-∠B）．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．