Question

【題目】（閱讀）如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，

∠AOC=∠BCO=90°，經過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，我們把這個操作過程記為FZ[θ，a]．

（理解）

若點D與點A重合，則這個操作過程為FZ[45°，3]；

（嘗試）

（1）若點D恰為AB的中點（如圖2），求θ；

（2）經過FZ[45°，a]操作，點B落在點E處，若點E在四邊形OABC的邊AB上，求出a的值；若點E落在四邊形OABC的外部，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）θ =30°；（2）當0＜a＜5時，點E落在四邊形0ABC的外部．

【解析】

（1）先根據ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD=FD，即點D為Rt△COF斜邊CF的中點，由折疊可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，根據等邊三角形三線合一的性質可得出結論；（2）根據點E四邊形0ABC的邊AB上可知AB⊥直線l，根據由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2．再由θ=45°，AB⊥直線l，得出△ADE為等腰直角三角形，故可得出OA的長，由此可得出結論．

（1）連接CD并延長，交OA延長線于點F．

在△BCD與△AFD中，

，

∴△BCD≌△AFD（ASA）．

∴CD=FD，即點D為Rt△COF斜邊CF的中點，

∴OD=CF=CD．

又由折疊可知，OD=OC，

∴OD=OC=CD，

∴△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，

∴θ=∠COD=30°；

（2）∵點E四邊形OABC的邊AB上，

∴AB⊥直線l

由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2．

∵θ=45°，AB⊥直線l，

∴△ADE為等腰直角三角形，

∴AD=DE=2，

∴OA=OD+AD=3+2=5，

∴a=5；

由圖可知，當0＜a＜5時，點E落在四邊形0ABC的外部．