Question

【題目】如圖：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)C的直線MN//AB，D為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于點(diǎn)E，垂足為F，連結(jié)CD，BE．

（1）求點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由．

（2）在（1）的條件下，當(dāng)∠A= 時(shí)，四邊形BECD是正方形．說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形BECD是菱形，理由見解析；（2）45°

【解析】

（1）先證明AC∥DE，得出四邊形BECD是平行四邊形，再“根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證出CD=BD，得出四邊形BECD是菱形；
（2）先求出∠ABC=45°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠DBE=90°，即可證出結(jié)論．

（1）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是菱形；理由如下：
∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE=AD；
∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，
∴CD=AB=BD，

∴四邊形BECD是菱形；

（2）當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
∵四邊形BECD是菱形，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠DBE=90°，
∴四邊形BECD是正方形．
故答案為：45°．