Question

【題目】已知橢圓 內有一點M（2，1），過M的兩條直線l1 ， l2分別與橢圓E交于A，C和B，D兩點，且滿足 （其中λ＞0，且λ≠1），若λ變化時，AB的斜率總為 ，則橢圓E的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）、C（x3 ， y3）、D（x4 ， y4）， 由 =λ ，即（2﹣x1 ， 1﹣y1）=λ（x3﹣2，y3﹣1），
則 ，同理可得： ，
∴ ，則2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，
將點A，B的坐標代入橢圓方程作差可得： =﹣ × ，
即﹣ =﹣ × ，則a2（y1+y2）=2b2（x1+x2），
同理可得：a2（y3+y4）=2b2（x3+x4），
兩式相加得：a2[（y1+y2）+（y3+y4）]=2b2[（x1+x2）+（x3+x4）]，
∴2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，
∴ =
則 = ，
則橢圓的離心率e= = = ，
故選D．