Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分線交對角線BD于點P ， 垂足為E ， 連接CP ， 求∠CPB的度數．

Answer 1

【答案】解答：解：如下圖，先連接AP ， 由四邊形ABCD是菱形，∠ADC＝72°，可得∠BAD＝180°－72°＝108°，根據菱形對角線的對稱性可得∠ABD＝∠ADB＝ ∠ADC＝ ，EP是AD的垂直平分線，由垂直平分線的對稱性可得∠DAP＝∠ADB＝36°，∴∠PAB＝∠DAB－∠DAP＝108°－36°＝72°，在△BAP中，∠APB＝180°－∠BAP－∠ABP＝180°－72°－36°＝72°，由菱形對角線的對稱性可得∠CPB＝∠APB＝72°．

【解析】本題開放性較強，解法有多種，可以從菱形、線段垂直平分線的性質、對稱等方面去尋求解答方法，在這些方法中，最容易理解和表達的應為對稱法，這也應該是本題考查的目的；靈活應用菱形、垂直平分線的對稱性，可使解題過程更為簡便快捷．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解線段垂直平分線的性質的相關知識，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等，以及對菱形的性質的理解，了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．