Question

如圖所示，在?ABCD中，AB＞BC，∠A與∠D的平分線交于點E，∠B與∠C的平分線交于F點，連接EF．
（1）延長DE交AB于M點，則圖中與線段EM一定相等的線段有哪幾條？說明理由；（不再另外添加字母和輔助線）
（2）EF、BC與AB之間有怎樣的數量關系？為什么？
（3）如果將條件“AB＞BC”改為“AB＜BC”，其它條件不變，EF、BC與AB的關系又如何？請畫出圖形并證明你的結論．

Answer 1

（1）與線段EM一定相等的線段有2條，DE和BF
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵AE、DE分別平分∠DAB和∠ADC
∴AE⊥DM，AE平分∠DAB．
∴ED=EM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB=∠BCD，
∵AE、CF是角平分線．
∴∠DAE=∠BCF，
同理∠ADE=∠CBF，AD=BC．
∴△ADE≌△CBF
∴DE=BF，ED=EM．
∴BF=EM．

（2）EF+BC=AB．
由（1）易證∠AMD=∠ABF，
∴EM∥BF，EM=BF．
∴四邊形EFBM是平行四邊形．
∴EF=MB，BC=AD=AM．
∴EF+BC=AB．

（3）EF+AB=BC．
同（2）易知EFBM是平行四邊形，
故BM=EF，BC=AD=AM，
∴AD=AM．
∴EF+AB=BC．