Question

（2011•桃江縣模擬）閱讀材料：我們知道，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形．
（1）如圖（1），O是等邊△ABC的內(nèi)心，連接BO、CO并延長(zhǎng)分別交AB、AC于點(diǎn)E、D，連接DE，求證：四邊形BCDE是等對(duì)邊四邊形；
（2）如圖（2），在不等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，DE≠BC，且滿足∠EBC=∠DCB=25°，若四邊形BCED是等對(duì)邊四邊形，求∠A的度數(shù)．（提示：作BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F，CG⊥BE于G）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和內(nèi)心求出BE=CD=

1

2

AB，即可得出答案；
（2）作BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F，CG⊥BE于G，根據(jù)AAS證Rt△BCF≌Rt△CBG，推出BF=CG，證Rt△BDF≌Rt△CEG，推出∠BDF=∠CEG，求出∠BDF=∠DBE+50°，∠CEG=∠A+∠DBE，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵O是等邊三角形ABC的內(nèi)心，
∴BD、CE都是三角形ABC的中線，
∴AD=DC=

1

2

AC，AE=BE=

1

2

AB，AB=AC，
∴BE=CD，
即四邊形BCDE是等對(duì)邊四邊形．
                
（2）解：作BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F，CG⊥BE于G，
在Rt△BCF與Rt△CBG中

∠BFC=∠CGB ∠DCB=∠EBC BC=BC

，
∴Rt△BCF≌Rt△CBG（AAS），
∴BF=CG，
在Rt△BDF與Rt△CEG中，

BF=CG BD=CE

，
∴Rt△BDF≌Rt△CEG（HL），
∴∠BDF=∠CEG，
∵∠BDF=∠DBE+∠EBC+∠BCD=∠DBE+50°，∠CEG=∠A+∠DBE
∴∠A=50°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，第（2）有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．