Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD邊的中點，點P、Q為BC邊上兩個動點，且PQ=2，當BP=_____時，四邊形APQE的周長最小．

Answer 1

【答案】4

【解析】

由題意可知要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度．

解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，

∴∠GEH=45°，

∴∠CEQ=45°，

設BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，

在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，

∴CQ=EC，

∴6-x=2，

解得x=4．

故答案為4．