Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為6，點A，B，C為⊙O上三點，BA平分∠OBC，過點A作AD⊥BC交BC延長線于點D．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）當sin∠OBC=時，求BC的長；

（3）連結AC，當AC∥OB時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據切線的判定證明即可；

（2）過O點作OE⊥BC于點E，利用勾股定理和三角函數解答；

（3）連結OC，利用菱形的性質和直角三角形的性質解答即可．

（1）∵BA平分∠OBC，∴∠OBA=∠CBA．

∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OAB=∠CBA，∴AO∥BC．

∵AD⊥BC，∴AD⊥AO，∴直線AD是⊙O切線；

（2）過O點作OE⊥BC于點E，得BC=2BE．在Rt△OBE中，∵sin∠OBC=，∴，OB=6，∴OE=4，∴BE=，∴；

（3）連結OC．

∵AO∥BC，AC∥OB，OA=OB，∴四邊形OACB是菱形，∴OA=AC=OC=6，∴∠AOC=∠OAC=60°，∴∠DAC=30°，∴在Rt△ADC中，CD=6sin30°=3，∴AD=，∴．