Question

如圖，矩形ABCD中，BC=2，E為AD的中點，作EF⊥BC于F，連接BE、BD，BD交EF于點P，過點P作A₁D₁∥BC分別交BE、DC于A₁、D₁，過點A₁作A₁B₁⊥BC于B₁，得到矩形A₁B₁CD₁．
（1）求BB₁的長；
（2）如圖2，在矩形A₁B₁CD₁中按上述操作得到矩形A₂B₂CD₂，則BB₂的長為

 

；
（3）在矩形A₂B₂CD₂按上述操作得到矩形A₃B₃CD₃，則BB₃的長為

 

；
（4）一直按上述操作得到矩形A_nB_nCD_n，則BB_n的長為

 

．

Answer 1

分析：此類題目要結合圖形解答，根據圖形的性質求解，尋找規律，推理得出結論．

解答：解：（1）∵EF⊥BC，A₁B₁⊥BC
∴EF∥A₁B₁
∴

BB1

BF

=

BA1

BE

∵A₁D₁∥BC
∴

EA1

EB

=

EP

EF

∵E為AD中點
∴ED=BF
∴EP=PF
∴

EA1

EB

=

EP

EF

=

1

2

∴BB1=

1

2

BF=

1

4

BC=

1

2

；

（2）同第一問可以推出B1B2=

1

2

B1F1=

1

4

B1C=

3

8

則BB₂的長為

7

8

；

（3）同理可得B2B3=

1

4

B2C=

9

32

則B₂B₃的長為

37

32

；

（4）∵BBn=

1

4

Bn-1C+BBn-1B_n-1C=2-BB_n-1
∴計算可得BB_n的長為2-

3

2

×(

3

4

)n-1．

點評：要求有很高的推理能力，在平時應該注重培養這方面的能力．