Question

已知：如圖，點P是邊長為4的正方形ABCD的邊AD上一點并且不與點A、D重合，MN是線段BP的垂直平分線，與AB、BP、CD分別交于點M、O、N，設AP=x．
（1）求BM（結果用含有x的代數式表示）；
（2）請你判斷四邊形MNCB的面積是否有最小值？若有最小值，求出使其面積取得最小值時的x的值并求出面積的最小值；若沒有最小值，說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）首先由正方形的性質與線段垂直平分線的性質求得BP與OB的值，又由∠ABP是公共角，∠A=∠MOB，易得Rt△BOM∽Rt△BAP，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得BM的長；
（2）首先作NE⊥AB于E，由（1）可得Rt△BOM∽Rt△BAP，則可證得：Rt△MNE≌Rt△PBA，即可求得CN的值，求得四邊形MNCB的最大值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，MN是PB的垂直平分線，
∴∠A=90°，∠MOB=90°，OB=

1

2

BP，
∴BP=

42+x2

=

16+x2

，OB=

1

2

16+x2

，
又∵∠ABP是公共角，∠A=∠MOB，
∴Rt△BOM∽Rt△BAP．
∴

OB

AB

=

MB

PB

，
即MB•AB=OB•PB，
∴4MB=

1

2

16+x2

•

16+x2

=

1

2

x2+8，
∴BM=

1

8

x2+2．

（2）四邊形MNCB的面積有最小值．
作NE⊥AB于E，
則∠MEN=∠BEN=90°=∠A，NE=BC=BA=4，
由（1）知Rt△BOM∽Rt△BAP，
∴∠NME=∠APB，
∴Rt△MNE≌Rt△PBA，
∴ME=PA=x，
∴CN=BE=MB-ME=

1

8

x²-x+2，
∴S_{四邊形MNCB}=

1

2

（CN+MB）•NE=

1

2

[（

1

8

x²-x+2）+（

1

8

x²+2）]•4=

1

2

（x-2）²+6，
∴當x=2時，四邊形MNCB的面積有最小值6．

點評：本小題主要考查運用三角形相似解決相關的問題的能力與數形結合的能力以及運算能力．此題屬綜合性題目，屬較難的題目，解題時要注意數形結合思想的應用．