Question

已知關于x的方程4x²-4（k+1）x+k²+1=0的兩實根x₁、x₂滿足：|x₁|+|x₂|=2，試求k的值．

Answer 1

分析：根據一元二次方程根與系數的關系可以得出x₁•x₂=

1

4

（k²+1）＞0，即x₁與x₂同號，因而可以根據兩根是正數或負數，
先分類討論去絕對值，根與系數的關系，已知兩根的和是k+1，求出k的值，然后根據根的判別式進行取舍．

解答：解：解法一：依題意，x₁•x₂=

1

4

（k²+1）＞0，
∴x₁與x₂同號，
（1）當x₁＞0，x₂＞0時，有x₁+x₂=2，即k+1=2，k=1．
（2）當x₁＜0，x₂＜0時，有-（x₁+x₂）=2，即k+1=-2，k=-3．
△=[-4（k+1）]²-16（k²+1）=32k，
當k=-3時，△＜0舍去．
所以，滿足題意的k的值為1．
解法二：依題意，△=[-4（k+1）]²-16（k²+1）=32k≥0，即k≥0，
于是x₁+x₂=k+1＞0，
又x₁•x₂=

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4

（k²+1）＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
由|x₁|+|x₂|=2，得x₁+x₂=2，
k+1=2，解得k=1．
所以，滿足題意的k的值為1．

點評：解決本題的關鍵是依據一元二次方程的根與系數的關系，首先確定兩個根同號是解題關鍵．