Question

如圖1，已知直線y=

2

5

x+2與x軸交于點A，交y軸于C、拋物線y=ax²+4ax+b經過A、C兩點，拋物線交x軸于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q在拋物線上，且有△AQC和△BQC面積相等，求點Q的坐標；
（3）如圖2，點P為△AOC外接圓上

ACO

的中點，直線PC交x軸于D，∠EDF=∠ACO．當∠EDF繞D旋轉時，DE交AC于M，DF交y軸負半軸于N、問CN-CM的值是否發生變化？若不變，求出其值；若變化，求出變化范圍．

Answer 1

（1）由直線AC的解析式可得：A（-5，0），C（0，2）；
代入拋物線的解析式中可得：

25a-20a+b=0 b=2

，
解得

a=- 2 5 b=2

；
故拋物線的解析式為：y=-

2

5

x²-

8

5

x+2．

（2）易知B（1，0）；
①當Q在AC段的拋物線上時，
△ACQ和△BCQ同底，若它們的面積相等，則A、B到直線CQ得距離相等，即CQ∥AB；
由于拋物線的對稱軸為x=-2，
故Q（-4，2）；
②當Q在線段AC外的直線上時，
△ACQ的面積為：

1

2

AL•|y_C-y_Q|，
△BCQ的面積為：

1

2

BL•|y_C-y_Q|，
若兩個三角形的面積相等，
那么AL=BL，
即L是線段AB的中點，即L（-2，0）；
易知直線CL的解析式為：y=x+2，聯立拋物線的解析式得：

y=- 2 5 x2- 8 5 x+2 y=x+2

，
解得

x=0 y=2

，

x=- 13 2 y=- 9 2

；
故Q（-

13

2

，-

9

2

）；
綜上所述，存在兩個符合條件的點Q，且坐標為：Q（-4，2）或（-

13

2

，-

9

2

）．

（3）如圖，設△AOC的外接圓圓心為S；
作∠NDR=∠PDE，交y軸于R；
則∠PDR=∠MDN=∠ACO；
由于P點是

ACO

的中點，由垂徑定理知SP必平行于y軸，得：
∠PSC=∠ACO=∠CDR，∠SPC=∠RCD；
則△SCP∽△DCR，
所以△CDR也是等腰三角形；
即CD=DR，OC=OR；
∵∠PCS=∠DRC，
∴∠DCM=∠DRN，
又∵∠CDM=∠NDR，CD=DR，
∴△DCM≌△DRN，
得CM=RN，
故CN-CM=CR=2OC；
所以CN-CM的值不變，恒為2OC，即4．