Question

（2010•邵陽）如圖，拋物線與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，頂點為點D，對稱軸l與直線BC相交于點E，與x軸相交于點F．
（1）求直線BC的解析式；
（2）設點P為該拋物線上的一個動點，以點P為圓心，r為半徑作⊙P
①當點P運動到點D時，若⊙P與直線BC相交，求r的取值范圍；
②若r=，是否存在點P使⊙P與直線BC相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
提示：拋物線y=ax²+bx+x（a≠0）的頂點坐標（），對稱軸x=．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式，易求得A、B、C的坐標，進而可用待定系數法求出直線BC的解析式；
（2）根據拋物線的解析式，可求出頂點D的坐標，進而可根據直線BC的解析式求出E點的坐標，由此可求出DE、EF、BF的長；
①當D、P重合時，過D作DG⊥BC于G，易證得△DEG∽△BEF，由此可得到DE、EG的比例關系，進而可由勾股定理求出DE的長；若⊙P與直線BC相交，那么半徑r＞DE，由此可求出r的取值范圍；
②由①知：當DE=r=；可過F作FM⊥BC于M，由于DE=EF=2，易證得FM=DG=r；可分別過D、F作直線BC的平行線m、n，則P點必為直線m、n與拋物線的交點，可先求出直線m、n的解析式，再分別聯立拋物線的解析式，即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）拋物線y=-x²+x+3中，
令y=0，得0=-x²+x+3，
解得x=-2，x=6；
令x=0，得y=3；
∴A（-2，0），B（6，0），C（0，3）；
設直線BC的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得
∴直線BC的解析式為：y=-x+3；

（2）由拋物線的解析式知：y=-（x-2）²+4，
即D（2，4）；
當x=2時，y=-x+3=-1+3=2，
即E（2，2）；
∴EF=DE=2，BF=4；
①過D作DG⊥BC于G，則△DEG∽△BEF；
∴DE：GE=BF：EF=2：1，即DG=2GE；
Rt△DGE中，設GE=x，則DG=2x，
由勾股定理，得：GE²+DG²=DE²，
即：4x²+x²=4，
解得x=；
∴DG=2x=；
故D、P重合時，若⊙P與直線BC相切，則r＞DG，即r＞；
②存在符合條件的P點，且P點坐標為：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+，），P₄（3-，）；
過點F作FM⊥BC于M；
∵DE=EF=2，則Rt△DGE≌Rt△FME；
∴FM=DG=r=；
分別過D、F作直線m、n平行于直線BC，則直線m與直線BC、直線n與直線BC之間的距離都等于r；
所以P點必為直線m、n與拋物線的交點；
設直線m的解析式為：y=ax+h，由于直線m與直線BC平行，則a=-；
∴-×2+h=4，h=5，
即直線m的解析式為y=-x+5；
同理可求得直線n的解析式為：y=-x+1；
聯立直線m與拋物線的解析式，
得：，
解得，；
∴P₁（2，4），P₂（4，3）；
同理，聯立直線n與拋物線的解析式可求得：P₃（3+，），P₄（3-，）；
故存在符合條件的P點，且坐標為：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+，），P₄（3-，）．
點評：此題是二次函數的綜合類試題，考查了二次函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、一次函數解析式的確定、勾股定理、相似三角形及全等三角形的性質、切線的性質等重要知識點，綜合性強，難度較大．