Question

請仔細閱讀材料，并解答相應問題：
定義A=a+b，B=a-b（a、b、m均為正有理數）都是無理數，若滿足①A+B=2a為有理數；②AB=a²-mb²為有理數，則稱A、B兩數為姐妹數（如3+2，3-2，∵3+2+3-2=6，（3+2）（3-2）=3²-（2）²=9-8=1，∴6，1為有理數，則3、3-2為姐妹數）
（1）已知x₁，x₂是x²-4x=2的兩個根，求x₁，x₂的值，并通過以上方法判斷x₁，x₂是否是一對姐妹數．
（2）在（1）條件下請繼續判斷x₁²、x₂²是否是一對姐妹數．

Answer 1

解：（1）方程x²-4x=2，
配方得：x²-4x+4=6，即（x-2）²=6，
∴x-2=±，
解得：x₁=2+，x₂=2-，
∴x₁+x₂=2++2-=4，x₁x₂=（2+）（2-）=4-6=-2，
而4，-2都為有理數，∴x₁，x₂為姐妹數；
（2）∵x₁+x₂=4，x₁x₂=-2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16+4=20，x₁²+x₂²=（x₁x₂）²=4，而20與4都為有理數，
則x₁²、x₂²是一對姐妹數．
分析：（1）求出方程的解得到x₁，x₂的值，求出x₁+x₂與x₁x₂的值，利用題中的新定義判斷即可；
（2）分別求出x₁²+x₂²與x₁²x₂²的值，利用題中的新定義判斷即可．
點評：此題考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．