Question

（2013•重慶）已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周長；
（2）若△AED以每秒2個單位長度的速度沿DC向右平行移動，得到△A₀E₀D₀，當A₀D₀與BC重合時停止移動，設運動時間為t秒，△A₀E₀D₀與△BDC重疊的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）如圖②，在（2）中，當△AED停止移動后得到△BEC，將△BEC繞點C按順時針方向旋轉α（0°＜α＜180°），在旋轉過程中，B的對應點為B₁，E的對應點為E₁，設直線B₁E₁與直線BE交于點P、與直線CB交于點Q．是否存在這樣的α，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出α的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）在△AED向右平移的過程中：
（I）當0≤t≤1.5時，如答圖1所示，此時重疊部分為一個三角形；
（II）當1.5＜t≤4.5時，如答圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形；
（III）當4.5＜t≤6時，如答圖3所示，此時重疊部分為一個五邊形．
（3）根據旋轉和等腰三角形的性質進行探究，結論是：存在α（30°和75°），使△BPQ為等腰三角形．如答圖4、答圖5所示．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3

3

，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周長為：6+3

3

+3=9+3

3

．

（2）在△AED向右平移的過程中：
（I）當0≤t≤1.5時，如答圖1所示，此時重疊部分為△D₀NK．

∵DD₀=2t，∴ND₀=DD₀•sin30°=t，NK=ND₀÷tan30°=

3

t，
∴S=S_△D0NK=

1

2

ND₀•NK=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²；
（II）當1.5＜t≤4.5時，如答圖2所示，此時重疊部分為四邊形D₀E₀KN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t，
∴A₀N=

1

2

A₀B=6-t，NK=A₀N•tan30°=

3

3

（6-t）．
∴S=S_{四邊形D0E0KN}=S_△A0D0E0-S_△A0NK=

1

2

×3×3

3

-

1

2

×（6-t）×

3

3

（6-t）=-

3

6

t²+2

3

t-

3 3

2

；
（III）當4.5＜t≤6時，如答圖3所示，此時重疊部分為五邊形D₀IJKN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t=D₀C，
∴A₀N=

1

2

A₀B=6-t，D₀N=6-（6-t）=t，BN=A₀B•cos30°=

3

（6-t）；
易知CI=BJ=A₀B=D₀C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S_梯形BND0I-S_△BKJ=

1

2

[t+（2t-6）]•

3

（6-t）-

1

2

•（12-2t）•

3

3

（12-2t）=-

13 3

6

t²+20

3

t-42

3

．
綜上所述，S與t之間的函數關系式為：
S=

3 2 t2(0≤t≤1.5) - 3 6 t2+2 3 t- 3 3 2 (1.5＜t≤4.5) - 13 3 6 t2+20 3 t-42 3 (4.5＜t≤6)

．

（3）存在α，使△BPQ為等腰三角形．
理由如下：經探究，得△BPQ∽△B₁QC，
故當△BPQ為等腰三角形時，△B₁QC也為等腰三角形．
（I）當QB=QP時（如答圖4），

則QB₁=QC，∴∠B₁CQ=∠B₁=30°，
即∠BCB₁=30°，
∴α=30°；
（II）當BQ=BP時，則B₁Q=B₁C，
若點Q在線段B₁E₁的延長線上時（如答圖5），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=75°，
即∠BCB₁=75°，
∴α=75°；
若點Q在線段E₁B₁的延長線上時（如答圖6），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=15°，
即∠BCB₁=180°-∠B₁CQ=180°-15°=165°，
∴α=165°．
綜上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ為等腰三角形．

點評：本題考查了運動型與幾何變換綜合題，難度較大．難點在于：其一，第（2）問的運動型問題中，分析三角形的運動過程，明確不同時段的重疊圖形形狀，是解題難點；其二，第（3）問的存在型問題中，探究出符合題意的旋轉角，并且做到不重不漏，是解題難點；其三，本題第（2）問中，計算量很大，容易失分．