Question

（1）已知：有兩塊完全相同的含45°角的三角板，如圖1，將Rt△DEF的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊AB的中點處，這時兩塊三角板重疊部分△DBC的面積是△ABC的面積的______；
（2）如圖2，點D不動，將Rt△DEF繞著頂點D旋轉α（0°＜∠α＜90°），這時兩塊三角板重疊部分為任意四邊形DNCM，這時四邊形DNCM的面積是△ABC的面積的______；
（3）若Rt△DEF的頂點D在AB上移動（不與點A、B重合），且兩條直角邊與Rt△ABC的兩條直角邊相交，是否存在一點，使得兩塊三角板重疊部分的面積是Rt△ABC的面積的？如果存在，請在圖3中畫出此時的圖形，并說明點D在AB上的位置；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵在直角△ABC中，D為斜邊AB的中點，
∴AD=BD=CD=AB，CD⊥AB，
∵S_△ABC=AB×CD，S_△DBC=BD×CD，
∴S_△DBC=S_△ABC
故答案為．

（2）如圖，連接CD，
∵∠ADN+∠NDC=∠CDM+∠NDC，
∴∠ADN=∠CDM，
又∵∠A=∠DCB，AD=CD，
∴△ADN≌△CDM，
∴S_{四邊形DNCM}=S_△ADC，
∴S_{四邊形DNCM}=S_△ABC；
故答案為．

（3）如圖，DF⊥BC，DE⊥AC，則四邊形DNCM是矩形；
設AB=a，BD=x，
∴DM=x，DN=（a-x），AC=BC=a，
∴S_△ABC=×a×a=a²，
S_矩形DNCM=x×（a-x）=（ax-x²），
∴=，
整理得，=，
∴x₁=a，x₂=a，
∴點D在B點或處時，兩塊三角板重疊部分的面積是Rt△ABC的面積的．
分析：（1）D為AB的中點，S_△ABC=AB×CD，S_△DBC=BD×CD，即可得出；
（2）連接CD，易證△CDM≌△ADN，四邊形DNCM的面積等于△ACD的面積，結合（1）即可得出；
（3）取DF⊥BC，DE⊥AC，則四邊形DNCM是矩形，設AB=a，BD=x，則DM=x，DN=（a-x），AC=BC=a，分別表示出S_△ABC和S_矩形DNCM，利用其面積比，即可求出D的位置．
點評：本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質，（3）中取四邊形是矩形，是解答的關鍵，思考問題的角度是從特殊到一般．