Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x和雙曲線（k＞0），點A（m，n）（m＞0）在雙曲線上．

（1）當m=n=2時，

①直接寫出k的值；

②將直線y=﹣x作怎樣的平移能使平移后的直線與雙曲線只有一個交點．

（2）將直線y=﹣x繞著原點O旋轉，設旋轉后的直線與雙曲線交于點B（a，b）（a＞0，b＞0）和點C．設直線AB，AC分別與x軸交于D，E兩點，試問：與的值存在怎樣的數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①k=4；②只要將直線y=﹣x向上或向下平移4個單位長度，所得到的直線與雙曲線只有一個交點；（2）綜上所述，．理由見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）①當m=n=2時，得出A（2，2），把點A（2，2）代入雙曲線（k＞0）求出k的值即可；

②設平移后的直線解析式為y=﹣x+b1，由直線和雙曲線解析式組成方程組，整理可得方程：x2﹣b1x+4=0，當判別式=0時，求出b1=±4即可；

（2）分兩種情況討論：由雙曲線的對稱性可知，C（﹣a，﹣b），①當點A在直線BC的上方時，過A、B、C分別作y軸的垂線，垂足分別為F、G、H，則OF=n，OG=OH=b，得出FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b，由平行線得出比例式，即可得出結論；

②當點A在直線BC的下方時，同理可得出結論；即可得出結果．

試題解析：（1）①當m=n=2時，A（2，2），

把點A（2，2）代入雙曲線（k＞0）得：k=2×2=4；

②設平移后的直線解析式為y=﹣x+b1，由可得，，

整理可得：x2﹣b1x+4=0，當△=-4×1×4=0，即b1=±4時，方程x2﹣b1x+4=0有兩個相等的實數根，此時直線y=﹣x+b1與雙曲線只有一個交點，∴只要將直線y=﹣x向上或向下平移4個單位長度，所得到的直線與雙曲線只有一個交點；

（2）=2，理由如下：

分兩種情況討論：由雙曲線的對稱性可知，C（﹣a，﹣b）

①當點A在直線BC的上方時，如圖所示：過A、B、C分別作y軸的垂線，垂足分別為F、G、H，

則OF=n，OG=OH=b，∴FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b，

∵AF∥BG∥x軸，∴，∵AF∥x軸∥CH，

∴，∴=2；

②當點A在直線BC的下方時，

同理可求：， ，

∴；

綜上所述，．