Question

【題目】如圖，在△ABC中，如果BD,CE分別是∠ABC,∠ACB的平分線且他們相交于點P，設∠A=n°.

（1）求∠BPC的度數（用含n的代數式表示），寫出推理過程.

（2）當∠BPC=125°時，∠A= .

（3）當n=60°時，EB=7，BC=12，DC的長為 .

Answer 1

【答案】（1）∠BPC=90°+n，推理過程見解析；（2）70°；（3）5.

【解析】

（1）根據角平分線的性質得∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，再根據三角形內角和定理求得∠A=-180°+2∠BPC，即可求證∠BPC=90°+n；

（2）根據（1）可知∠BPC=90°+n，把∠BPC=125°代入原式求出n即為∠A的度數；

（3）當n=60°時，即可求出∠BPC=120°，作輔助線在CB上截取CG=CD，可證出△CPG≌△PCD（SAS），即可得出∠DPO=∠GPC，PD=PG，再可證出△BEP≌△BGP，即可得出BE=BG，即可求出DC．

解：（1）∵DB、CE分別為∠ABC，∠ACB的平分線，

∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB.

∵∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，

∴∠A=180°-2(∠PBC+∠PCB)，

∴∠A=180°-2(180°-∠BPC)，

∴∠A=-180°+2∠BPC，

∴2∠BPC=180°+∠A，

∴∠BPC=90°+∠A,

∴∠BPC=90°+n

（2）由（1）知∠BPC=90°+∠A

∴當∠BPC=125°時，∠A =2×（125°-90°）= 70°；

（3）在CB上截取CG=CD，連接GP，

CE平分
∴∠GCP=∠PCD，
在△PCD和△PCG中，

∴△PCD≌△CGP（SAS），

∴∠GPC=∠CPD，PG=PD，
由∠BPG+∠GPC=120°，
又∵∠BPG+2∠GPC=180°，
解得：∠BPG=∠GPC=∠FPC=60°
在△BEP和△BGP中，

∴△BEP≌△BGP（ASA），
∴BE=BG，
∴CG=BC-BG=BC-BE=12-7=5

∴CD=CG=5．