Question

如圖所示，某學校擬建一個含內接矩形的菱形花壇（花壇為軸對稱圖形）．矩形的四個頂點分別在菱形四條邊上，菱形ABCD的邊長AB=4米，∠ABC=60°．設AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面積為S米²．

（1）求S與x的函數關系式；
（2）學校準備在矩形內種植紅色花草，四個三角形內種植黃色花草．已知紅色花草的價格為20元/米²，黃色花草的價格為40元/米²．當x為何值時，購買花草所需的總費用最低，并求出最低總費用（結果保留根號）？

Answer 1

解：（1）連接AC、BD，

∵花壇為軸對稱圖形，
∴EH∥BD，EF∥AC。
∴△BEF∽△BAC。
∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△BEF是等邊三角形。
∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
則EM=AEcos∠AEM=x，∴EH=2EM=x.
∴S=（4﹣x）×x=﹣x²+4x。
（2）易求得菱形ABCD的面積為8cm²，
由（1）得，矩形ABCD的面積為x²，則可得四個三角形的面積為（8+x²﹣4x），
設總費用為W，
則W=20（﹣x²+4x）+40（8+x²﹣4x）=20x²﹣80x+320
=20（x﹣2）²+240。
∵0＜x＜4，∴當x=2時，W取得最小，W_最小=240元。
∴當x為2時，購買花草所需的總費用最低，最低費用為240元。

解析試題分析：（1）連接AC、BD，根據軸對稱的性質，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF為等邊三角形，從而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，繼而得出EH，這樣即可得出S與x的函數關系式。
（2）根據（1）的答案，可求出四個三角形的面積，設費用為W，則可得出W關于x的二次函數關系式，利用配方法求最值即可。