Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊．以AC為直徑的⊙O，交BC于D，過O作OE∥BC，交OD于E，連接AD、AE、CE．

（1）求證：∠ACE=∠DCE；

（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度數；

（3）若AC=4，，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）60°；（3）

【解析】

（1）易證∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，從而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；

（2）延長AE交BC于點G，易證∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；

（3）易證，由于，所以=，由圓周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，從而可證明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性質即可求出答案．

（1）∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．

∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；

（2）延長AE交BC于點G．

∵∠AGC是△ABG的外角，∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°．

∵OE∥BC，∴∠AEO=∠AGC=60°．

∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO=60°．

（3）∵O是AC中點，∴

，∴=．

∵AC是直徑，∴∠AEC=∠FDC=90°．

∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴=，∴CF=CA=．