Question

【題目】如圖，已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O，連接AF、CE．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）求證：四邊形AFCE為菱形；

（3）求菱形AFCE的周長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）20cm．

【解析】

（1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根據平行的性質得出∠EAO=∠FCO，根據ASA即可得出兩三角形全等；

（2）根據全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；

（3）設AF=xcm，則CF=AF=xcm，BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程42+（8-x）2=x2，求出x的值，進而得到菱形AFCE的周長．

（1）證明：∵EF是AC的垂直平分線，

∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO．

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）證明：∵△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四邊形AFCE為平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴平行四邊形AFCE為菱形；

（3）解：設AF=xcm，則CF=AF=xcm，BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

AB2+BF2=AF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5．

所以菱形AFCE的周長為5×4=20cm．