Question

已知：△ABC是任意三角形。

（1）如圖1所示，點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點，求證：∠MPN=∠A。
（2）如圖2所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且，，點P₁、P₂是邊BC的三等分點，你認為∠MP₁N+∠MP₂N=∠A是否正確？請說明你的理由；
（3）如圖3所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且，，點P₁、P₂、…、P₂₀₀₉是邊BC的2010等分點，則∠MP₁N+∠MP₂N+…+∠MP₂₀₀₉N=（    ）。

Answer 1

解：（1）∵點M、P、N分別是AB、BC、CA的中點， ∴線段MP、PN是△ABC的中位線， ∴MP∥AN，PN∥AM ∴四邊形AMPN是平行四邊形 ∴∠MPN=∠A。
（2）∠MP1N+∠MP2N=∠A正確 如圖所示，連接MN ∵，∠A=∠A ∴△AMN∽△ABC ∴∠AMN=∠B， ∴MN∥BC， ∵點P1、P2是邊BC的三等分點， ∴MN與BP1平行且相等，MN與P1P2平行且相等，MN與P2C平行且相等， ∴四邊形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四邊形， ∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC ∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A， ∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A。
（3）∠A。