Question

（2008•沈陽）如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且AB=1，OB=，矩形ABOC繞點O按順時針方向旋轉60°后得到矩形EFOD．點A的對應點為點E，點B的對應點為點F，點C的對應點為點D，拋物線y=ax²+bx+c過點A，E，D．
（1）判斷點E是否在y軸上，并說明理由；
（2）求拋物線的函數表達式；
（3）在x軸的上方是否存在點P，點Q，使以點O，B，P，Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點P在拋物線上？若存在，請求出點P，點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可連接OA，通過證∠AOE=60°，即與旋轉角相同來得出OE在y軸上的結論．
（2）已知了AB，OB的長即可求出A的坐標，在直角三角形OEF中，可用勾股定理求出OE的長，也就能求得E點的坐標，要想得出拋物線的解析式還少D點的坐標，可過D作x軸的垂線，通過構建直角三角形，根據OD的長和∠DOx的正弦和余弦值來求出D的坐標．
求出A、E、D三點坐標后即可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）可先求出矩形的面積，進而可得出平行四邊形OBPQ的面積．由于平行四邊形中OB邊的長是定值，因此可根據平行四邊形的面積求出P點的縱坐標（由于P點在x軸上方，因此P的縱坐標為正數），然后將P點的縱坐標代入拋物線中可求出P點的坐標．求出P點的坐標后，將P點分別向左、向右平移OB個單位即可得出Q點的坐標，由此可得出符合條件的兩個P點坐標和四個Q點坐標．
解答：解：（1）點E在y軸上
理由如下：
連接AO，如圖所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=，
∴AO=2∴sin∠AOB=，∴∠AOB=30°
由題意可知：∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°
∵點B在x軸上，∴點E在y軸上．

（2）過點D作DM⊥x軸于點M，
∵OD=1，∠DOM=30°
∴在Rt△DOM中，DM=，OM=
∵點D在第一象限，
∴點D的坐標為
由（1）知EO=AO=2，點E在y軸的正半軸上
∴點E的坐標為（0，2）
∴點A的坐標為（-，1）
∵拋物線y=ax²+bx+c經過點E，
∴c=2
由題意，將A（-，1），D（，）代入y=ax²+bx+2中，
得
解得
∴所求拋物線表達式為：y=-x²-x+2

（3）存在符合條件的點P，點Q．
理由如下：∵矩形ABOC的面積=AB•BO=
∴以O，B，P，Q為頂點的平行四邊形面積為．
由題意可知OB為此平行四邊形一邊，
又∵OB=
∴OB邊上的高為2
依題意設點P的坐標為（m，2）
∵點P在拋物線y=-x²-x+2上
∴-m²-m+2=2
解得，m₁=0，m₂=-
∴P₁（0，2），P₂（-，2）
∵以O，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=，
∴當點P₁的坐標為（0，2）時，點Q的坐標分別為Q₁（-，2），Q₂（，2）；
當點P₂的坐標為（-，2）時，點Q的坐標分別為Q₃（-，2），Q₄（，2）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、平行四邊形的性質等知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生數形結合的數學思想方法．