Question

（本小題滿分14分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC="10." 點
E在下底邊BC上，點F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）∵EF平分等腰梯形ABCD的周長，
∴BF=12－x，  FG =
∴ ………5分
（2）∵
∴當，=" 14 " 解得 
∵當時，BF=12－x =7＞AB，不合題意。
∴當BE=7時，線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分。………5分（3）當線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分時，
①若BE+BF=8，則FG =，有
這個方程無實數解；
②若BE+BF=16，而BC+AB=15，這種情況是不可能的；
∴不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分。…………4分

解析