Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點M，弦MN∥BC交AB于點E，且ME＝1，AM＝2，AE＝.

(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)求的長．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：(1)根據所給的三角形AME的三邊數據，結合勾股定理逆定理可判斷出三角形AME是直角三角形，即∠AEM=90°，再根據兩直線平行，同位角相等，可得∠B=90°，根據切線的判定定理：經過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.可證得BC是圓O的切線.(2)連接OM,根據正弦函數的定義sin∠A=,可求出∠A=30°，根據圓周角定理，可求出∠EOM=60°，在△OME中，根據正弦函數的定義sin∠EOM=,可求出OM的值，知道了扇形的半徑和圓心角，利用弧長公式即可求出胡BM的長.
試題解析：（1）證明：∵ME=1，AM=2，AE=，∴ME²+AE²=AM²=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；
（2）解：連接OM．
在Rt△AEM中，sinA==，
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴=，EN=EM=1，
∴∠BOM=2∠A=60°．
在Rt△OEM中，sin∠EOM=，
∴OM=，（1分）
∴的長度是：•=．