Question

【題目】如圖，線段BC和動點A構成△ABC，∠BAC=120°，BC=3，則△ABC周長的最大值_____．

Answer 1

【答案】3+2

【解析】

延長BA到D，使AD=AC，連接CD，作△BCD的外接圓⊙O，當BD的長度最大時，△ABC周長最大，而BD為⊙O的直徑時，BD最大．設⊙O的半徑為r，連接OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E，根據垂徑定理得出BE的長，再用正弦函數得出OB的長度，則BD的最大值可得，從而△ABC周長的最大值可得．

延長BA到D，使AD=AC，連接CD，作△BCD的外接圓⊙O，

∵AD=AC，

∴△ABC的周長為：AB+BC+AC=AB+BC+AD=BD+BC．

∵BC=3，

∴當BD的長度最大時，△ABC周長最大，

∴當點A與點O重合時，BD為⊙O的直徑，BD最大．

設⊙O的半徑為r，連接OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E，

∵∠BAC=120°，

∴∠BOE=∠AOB=60°．

∵BC=3，OE⊥BC，

∴BE=，

∴=sin60°，

∴

∴r=，

∴BD的最大值為2r=2．

∴△ABC周長的最大值為3+2．

故答案為：3+2．