Question

如圖：AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D為弧AC上一點，DE⊥AB于點H，交⊙O于點E，交AC于點F．P為ED延長線上一點，連PC．
（1）若PC與⊙O相切，判斷△PCF的形狀，并證明．
（2）若D為弧AC的中點，且

BC

AB

=

3

5

，DH=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）猜想△PCF為等腰三角形，證∠PCF=∠PFC，又PC與⊙O相切，連接OC，由∠PCF+∠ACO=∠PFC+∠CAB=90°可以證得．
（2）連接BC、DO，由于D為弧AC的中點，可得OD⊥AC，由DE⊥AB得Rt△DHO∽Rt△ACB，則

OH

OD

=

3

5

，又DH=8，在Rt△DOH中求得OD，即⊙O的半徑．

解答：（1）△PCF為等腰三角形．
證明：連接OC，
∵∠PFC=∠AFH，∠AFH+∠A=90°，∠A=∠ACO，
∵PC為⊙0的切線，
∴∠PFC=∠PCA．
∴PF=PC．
∴△PFC為等腰三角形．

（2）解：連接BC、DO，
∵弧AD=弧DC，∴OD⊥AC．
∵AB為直徑．∴BC⊥AC．
∴OD∥BC．∴∠DOH=∠CBA．
∴Rt△DHO∽Rt△ACB．
∴

OH

OD

=

BC

AB

=

3

5

．
設OH=3x，OD=5x，
則（5x）²-（3x）²=64
∴x=2．
∴OD=10．
∴⊙0的半徑為10．

點評：本題考查了切線的性質及三角形的相似及判定，有一定的綜合性，難度稍大．