Question

九（1）班數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐——應用——探究的過程
（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進行測量，測得隧道的路面寬為10米，隧道頂部最高處距地面6.25米，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式
（2）應用：按規定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎起方向上的高度差至少為0.5米，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3米，最高3.5米的兩輛車居中并列行駛（不考慮兩車之間的空隙）？
（3）探究：該課題學習小組為進一步探究拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個問題，請予解答：
①如圖，在拋物線內作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上，頂點A、B落在x軸上，設矩形ABCD的周長為為l，求l的最大值
②如圖，過原點作一條直線y=x，交拋物線于M，交拋物線的對稱軸于N，P為直線OM上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，問在直線OM上是否存在點P，使以點P、N、Q為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由
 

Answer 1

（1）y=－x²＋x
（2）當x=2或x=8時
（3）（Ⅰ）AB="2x-10 " BC=y=－x²＋x  l=－x²＋9x－20=－（x－9）²＋
（Ⅱ）存在，這樣的點有四個
∵P點在直線y=x上，設P（x,x），Q（x, －x²＋x）
（A）  當∠P₁Q₁N=90°時，
Q點在OM的上方時，P₁Q₁=NQ₁，P₁Q₁=－x²＋x －x，NQ₁=5-x
Q點在OM的下方時，P₂Q₂=NQ₂，P₂Q₂= x－（－x²＋x），NQ₁="x" – 5
∴x²－x＋5=0
∴P₁（5＋，5＋）、P₂（5－，5－）
（B）  當∠P₃N Q₃=90°時，過點Q3作Q3K⊥對稱軸
當△NQ₃K₁為等腰直角三角形時，△NP₃Q₃為等腰直角三角形
Q點在OM的上方時，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=－x²＋x －x，Q₃K₁=5-x
Q點在OM的下方時，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄= x－（－x²＋x），Q₄K₂=" x" – 5
∴x²－x＋10=0
∴P3（4，4）、P4（10，10）解析:
略