Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，6），點B在x軸的正半軸上.若點P、Q在線段AB上，且PQ為某個一邊與x軸平行的矩形的對角線，則稱這個矩形為點P、Q的“涵矩形”。下圖為點P、Q的“涵矩形”的示意圖.

（1）點B的坐標為（3，0）；

①若點P的橫坐標為，點Q與點B重合，則點P、Q的“涵矩形”的周長為 .

②若點P、Q的“涵矩形”的周長為6，點P的坐標為（1，4），則點E（2，1），F（1，2），G（4，0）中，能夠成為點P、Q的“涵矩形”的頂點的是 .

（2）四邊形PMQN是點P、Q的“涵矩形”，點M在△AOB的內部，且它是正方形；

①當正方形PMQN的周長為8，點P的橫坐標為3時，求點Q的坐標.

②當正方形PMQN的對角線長度為/2時，連結OM.直接寫出線段OM的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（1）①9，②（1，2）；（2）①（1，5）或（5，1），②

【解析】

（1）①根據題意求出PE，EQ即可解決問題．
②求出點P、Q的“涵矩形”的長與寬即可判斷．
（2）①求出正方形的邊長，分兩種情形分別求解即可解決問題．
②點M在直線y=-x+5上運動，設直線y=-x+5交x軸于F，交y軸于E，作OD⊥EF于D．求出OM的最大值，最小值即可判斷．

解：（1）①如圖1中，

由題意：矩形PEQF中，EQ=PF=3- ，
∴OE=EQ，

∵EP∥OA，
∴AP=PQ，
∴PE=QF=OA=3，
∴點P、Q的“涵矩形”的周長=（3+）×2=9．
②如圖2中，

∵點P、Q的“涵矩形”的周長為6，
∴鄰邊之和為3，
∵矩形的長是寬的兩倍，
∴點P、Q的“涵矩形”的長為2，寬為1，
∵P（1，4），F（1，2），
∴PF=2，滿足條件，
∴F（1，2）是矩形的頂點．

（2）①如圖3中，

∵點P、Q的“涵矩形”是正方形，
∴∠ABO=45°，
∴點A的坐標為（0，6），
∴點B的坐標為（6，0），
∴直線AB的函數表達式為y=-x+6，
∵點P的橫坐標為3，
∴點P的坐標為（3，3），
∵正方形PMQN的周長為8，
∴點Q的橫坐標為3-2=1或3+2=5，
∴點Q的坐標為（1，5）或（5，1）．

②如圖4中，

∵正方形PMQN的對角線為，
∴PM=MQ=1，
易知M在直線y=-x+5上運動，設直線y=-x+5交x軸于F，交y軸于E，作OD⊥EF于D，
∵OE=OF=5，
∴EF= ，
∵OD⊥EF，
∴ED=DF，
∴OD=EF= ，
∴OM的最大值為5，最小值為，
∴．