Question

【題目】如圖，正方形中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，若點(diǎn)為延長線上一動點(diǎn)，連接，將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則、、三者之間的數(shù)量關(guān)系為________．

Answer 1

【答案】．

【解析】

取BC的中點(diǎn)G，連接FG，根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“邊角邊”證明△FQE和△FPG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得QE=FG，BF=BG，再根據(jù)BG+GP=BP等量代換即可得證.

如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，

∵點(diǎn)E、F、G分別是正方形邊AD、AB、BC的中點(diǎn)，

∴△AEF和△BGD是兩個全等的等腰直角三角形．

∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°．

∴∠EFG=90°，即EF⊥FG．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，FP=FQ，∠PFQ=90°．

∴∠GFP=∠GFE-∠EFP=90°-∠EFP，

∠EFQ=∠PFQ-∠EFP=90°-∠EFP．

∴∠GFP=∠EFQ．

在△FQE和△FPG中，

∵EF=GF，∠EFQ=∠GFP，F(xiàn)Q=FP，

∴△FQE≌△FPG（SAS）．

∴EQ=GP．

∴EF=GF=GB=（BP-GP）=（BP-EQ），

故答案為：EF=（BP-EQ）．