Question

如圖，直線l₁與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線l₂與直線l₁關于x軸對稱，已知直線l₁的解析式為y=x+3，
（1）求直線l₂的解析式；

（2）過A點在△ABC的外部作一條直線l₃，過點B作BE⊥l₃于E，過點C作CF⊥l₃于F，請畫出圖形并求證：BE+CF=EF；

（3）△ABC沿y軸向下平移，AB邊交x軸于點P，過P點的直線與AC邊的延長線相交于點Q，與y軸相交于點M，且BP=CQ，在△ABC平移的過程中，①OM為定值；②MC為定值．在這兩個結論中，有且只有一個是正確的，請找出正確的結論，并求出其值．

Answer 1

分析：（1）根據題意先求直線l₁與x軸、y軸的交點A、B的坐標，再根據軸對稱的性質求直線l₂的上點C的坐標，用待定系數法求直線l₂的解析式；
（2）根據題意結合軸對稱的性質，先證明△BEA≌△AFC，再根據全等三角形的性質，結合圖形證明BE+CF=EF；
（3）首先過Q點作QH⊥y軸于H，證明△QCH≌△PBO，然后根據全等三角形的性質和△QHM≌△POM，從而得HM=OM，根據線段的和差進行計算OM的值．

解答：解：（1）∵直線l₁與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A（-3，0），B（0，3），
∵直線l₂與直線l₁關于x軸對稱，
∴C（0，-3）
∴直線l₂的解析式為：y=-x-3；

（2）如圖．
答：BE+CF=EF．
∵直線l₂與直線l₁關于x軸對稱，
∴AB=AC，
∵l₁與l₂為象限平分線的平行線，
∴△OAC與△OAB為等腰直角三角形，
∴∠EBA=∠FAC，
∵BE⊥l₃，CF⊥l₃
∴∠BEA=∠AFC=90°
∴△BEA≌△AFC
∴BE=AF，EA=FC，
∴BE+CF=AF+EA=EF；

（3）①對，OM=3
過Q點作QH⊥y軸于H，直線l₂與直線l₁關于x軸對稱
∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，
又∵AB=AC，
∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，
則△QCH≌△PBO（AAS），
∴QH=PO=OB=CH
∴△QHM≌△POM
∴HM=OM
∴OM=BC-（OB+CM）=BC-（CH+CM）=BC-OM
∴OM=

1

2

BC=3．

點評：軸對稱的性質：對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．