Question

【題目】如圖所示，點C為線段OB的中點，D為線段OA上一點．連結AC、BD交于點P．

（問題引入）（1）如圖1，若點P為AC的中點，求的值．

溫馨提示：過點C作CE∥AO交BD于點E．

（探索研究）（2）如圖2，點D為OA上的任意一點（不與點A、O重合），求證：．

（問題解決）（3）如圖2，若AO=BO，AO⊥BO，，求tan∠BPC的值．

Answer 1

【答案】（1）；(2) 見解析；(3)

【解析】

（1）過點C作CE∥OA交BD于點E，即可得△BCE∽△BOD，根據相似三角形的性質可得，再證明△ECP≌△DAP，由此即可求得的值；（2）過點D作DF∥BO交AC于點F，即可得，，由點C為OB的中點可得BC=OC，即可證得；（3）由（2）可知=，設AD=t，則BO=AO=4t，OD=3t，根據勾股定理求得BD=5t，即可得PD=t，PB=4t，所以PD=AD，從而得∠A=∠APD=∠BPC，所以tan∠BPC=tan∠A=．

（1）如圖1，過點C作CE∥OA交BD于點E，

∴△BCE∽△BOD，

∴=，

又BC=BO，∴CE=DO．

∵CE∥OA，∴∠ECP=∠DAP，

又∠EPC=∠DPA，PA=PC，

∴△ECP≌△DAP，

∴AD=CE=DO，

即 =；

（2）如圖2，過點D作DF∥BO交AC于點F，

則 =， =．

∵點C為OB的中點，

∴BC=OC，

∴=；

（3）如圖2，∵=，

由（2）可知==．

設AD=t，則BO=AO=4t，OD=3t，

∵AO⊥BO，即∠AOB=90°，

∴BD==5t，

∴PD=t，PB=4t，

∴PD=AD，

∴∠A=∠APD=∠BPC，

則tan∠BPC=tan∠A==．