Question

△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形稱為第1次剪取，記所得正方形面積為s₁（如圖1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個(gè)相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為s₂（如圖2）；繼續(xù)操作下去…；則第10次剪取時(shí)，s₁₀=

1

29

；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和是

1

22011

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可求得S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1，同理可得規(guī)律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面積和，根據(jù)此規(guī)律求解即可答案．

解答：解：∵四邊形ECFD是正方形，
∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，
∵AC=BC=2，
∴DE=DF=1，
∴S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1；
同理：S₂即是第二次剪取后剩余三角形面積和，
S_n即是第n次剪取后剩余三角形面積和，
∴第一次剪取后剩余三角形面積和為：2-S₁=1=S₁，
第二次剪取后剩余三角形面積和為：S₁-S₂=1-

1

2

=

1

2

=S₂，
第三次剪取后剩余三角形面積和為：S₂-S₃=

1

2

-

1

4

=

1

4

=S₃，
…
第n次剪取后剩余三角形面積和為：S_n-1-S_n=S_n=

1

2n-1

．
則s₁₀=

1

210-1

=

1

29

；s₂₀₁₂=

1

22012-1

=

1

22011

；
故答案分別是：

1

29

和

1

22011

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，找到規(guī)律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面積和是解此題的關(guān)鍵．