Question

已知坐標平面上的線段AB及點P，任取AB上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段AB的距離，記作d（P→AB）．
（1）如圖所示，已知長度為2個單位的線段MN在x軸上，M點的坐標為（1，0），求點P（1，1）到線段MN的距離d（P→MN）；
（2）已知坐標平面上點G到線段DE：y=x（0≤x≤3）的距離d（G→DE）=，且點G的橫坐標為1，試求點G的縱坐標．

Answer 1

解：（1）∵M點的坐標為（1，0），點P的坐標為（1，1），
根據定義可得PM就是點P到線段MN的距離．
∴d（P→MN）=1．

（2）在坐標平面內作出線段DE：y=x（0≤x≤3），
∵點G的橫坐標為1，
∴點G在直線x=1上，設直線x=1交x軸于點H，交DE于點K．
①如圖，過點G₁作G₁F⊥DE于點F，則G₁F就是點G₁到線段DE的距離．
∵線段DE：y=x（0≤x≤3），
∴△G₁FK，△DHK均為等腰直角三角形，
∵d（G₁→DE）=，
∴KF=，由勾股定理得GK=2，
又∵KH=OH=1，
∴HG₁=3．
即G₁的縱坐標為3；
②如圖，過點O作G₂O⊥OE交直線x=1于點G₂，由題意知△OHG₂為等腰直角三角形，
∵OH=1，
∴G₂O=．
∴點G₂同樣是滿足條件的點．
∴點G₂的縱坐標為-1．
綜上，點G₂的縱坐標為3或-1．
分析：（1）由M點的坐標為（1，0），點P的坐標為（1，1），根據定義可得PM就是點P到線段MN的距離．
（2）首先可得點G在直線x=1上，設直線x=1交x軸于點H，交DE于點K．然后分別從①如圖，過點G₁作G₁F⊥DE于點F，②如圖，過點O作G₂O⊥OE交直線x=1于點G₂，去分析求解即可求得答案．
點評：此題屬于一次函數的綜合題，考查了點到直線的距離、等腰直角三角形的性質、待定系數法求一次函數的解析式等知識．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．